축약 가능 공간(contractible space)과 변형 수축(deformation retract)

대수적 위상수학에서 가장 중요한 개념 중 호모토피homotopy라는 것이 있다. 위상수학의 대수적 불변량은 호모토피 불변량homotopic invariant인 경우가 많다. 예를 들어, 기본군fundamental group이나 (코)호몰로지(co)homology, 오일러 지표Euler characteristic은 homotopy invariant이다. 이러한 불변량을 이용하여 위상공간들의 호모토피 유형homotopy type을 분류할 수 있다. 공간이 충분히 좋다면, 두 공간이 위상동형homeomorphic인지 판별하는 데에도 매우 유용하다. homotopy를 쉽게 이해할 수 있는 방법에는 변형 수축deformation […]

잘 보일수록 자세히 보자.

이해는 매우 복합적인 행위이다. 어떤 대상을 잘 이해한다는 것은, 상황에 따라 그 대상이 어떻게 작동할지 잘 예상한다는 것이다. 이를 위해서는 대상과 다른 대상 사이의 무수한 논리적 · 직관적 관계들을 습득해야 하며, 이는 절대로 쉽지 않다. 어떤 정리를 이해한다는 것과 그것을 증명할 수 있다는 것은 별개의 행위이다. 정리의 증명을 안다고 해도, 정리를 다른 문제에 적용하지 못할 […]

Generalization of Intermediate Value Theorem: 2. Homotopy

이전 글: Generalization of Intermediate Value Theorem: 1. Brouwer Fixed Point Theorem 이 글에서는 사이값 정리의 다른 일반화 하나를 소개할 거예요. 이전 글에서, 사이값 정리를 다음 관점으로 바라볼 수 있다고 했어요. 2차원 공간을 두 조각내는 곡선 과, 각 조각 위의 점 에 대해, 를 연결하는 곡선은 를 가로지른다. 이를 좀 더 깔끔하게 다음처럼 서술할 수 […]

Generalization of Intermediate Value Theorem: 1. Brouwer Fixed Point Theorem

미적분학의 중요한 정리 중 하나에 다음이 있어요. Theorem (사이값 정리). 연속함수 과, 와 사이의 값 에 대해, 가 있어 가 성립한다. 사이값 정리의 직접적인 차원 일반화를 찾는 것은 쉽지 않은데, 이 글에서는 이 정리를 일반화하는 한 가지 방법을 소개하려 해요. 사이값 정리의 간단한 응용으로, 다음 명제가 소개되곤 해요. Theorem (1차원 브라우어르 고정점 정리). 연속함수 은 […]

빨대의 구멍 개수

이 글은 다음 내용을 다루어요. 빨대의 구멍 개수에 대한 개인적인 생각 위상수학 (평범하게 생긴) 빨대의 구멍 개수는 인터넷 상에서 많은 이야기가 오갔던 주제이고, 이 글에서는 이에 대한 제 생각을 다룰 거예요. 이 글은 수학적으로 엄밀하지도, 그렇다고 비수학적이지도 않은 거친(rough) 글이에요. 만일, 글이 이해되지 않는다면, 마지막 부분 요약을 보시는 것이 도움이 될 수 있을 것 같아요. […]

Category of Well-Ordered Sets

이 글에서는 다음 내용들을 다루어요. Category of well-ordered sets Statement that “If forms a/an [some condition] by inclusion and for some cardinal number , then holds.” [some condition]의 예시로는 directed set, well-ordered set, 그리고 totally ordered set이 있어요. 1. Category of Well-Ordered Sets Category of well-ordered sets를 정의하기 전, 몇 가지 용어를 알아볼게요. Definition (lower […]

Review: Real Analysis for Graduate Students by Richard Bass

KAIST의 2019 Fall MAS441 Lebesgue Measure Theory 강의에서는 Bass의 “Real Analysis for Graduate Students“를 주교재로 사용하였어요. 책을 전부 커버하지는 않았고, (§8 Riemann integrals 및 몇 주제를 제외하고) §15 spaces의 두 번째 소단원 Completeness까지 다루었어요. 이 글에서는 이 책에 관한 생각을 써보려 해요. 먼저, 이 책은 박사 qualifying test를 위한 실해석학 교재로 보면 되지만, 내용은 그리 […]

Dependency of Riemann Hypothesis

괴델의 불완전성 정리는 (몇몇 조건을 만족하는) 공리계 위의 참인 명제가 증명도, 반증도 불가능하다는 것을 의미해요. 예를 들어, 굿스타인의 정리는 ZFC(선택공리가 추가된 체르멜로-프렝켈 집합론, 수학에서 가장 널리 쓰이는 공리계 중 하나) 위에서 참이지만 PA(페아노 공리계)와는 독립이고, axiom of choice와 continuum hypothesis는 ZF와 독립이라는 것이 잘 알려져 있어요. 이것은 어쩌면 수학자들이 증명하고 싶어하는 명제가 사실은 증명도, 반증도 […]

Identity for Series of Squares

자, 이번에는 해석학에 관한 글을 써보려 해요!! 목표는 에 관한 항등식을 증명하고, 이걸 이용해서 문제를 푸는 것이에요.(는 사실 더 일반적인 형태가 있는데, 이건 연습문제로 남길 거예요(??)) 그 전에, 다음의 놀라운 항등식을 살펴볼게요. Identity. 자연수 에 대해 다음 등식이 성립한다. Proof. 에 대한 귀납법으로 증명할게요!: 를 보이면 되는데, 전개하면 당연해요.: 다음을 볼게요. 따라서, 의 양변에 위의 […]

Restriction Method to Prove Algebraic Identity

0. 이 글에서는 일반적인 ring 위의 identity를 위의 identity로 restriction시킨 후 간단히 보이는 테크닉을 소개할 거예요! 아직은 제 실력이 부족해서 Cayley-Hamilton theorem을 보이는 수준으로만 소개할 것이지만요. 1. 수학에는 많은 항등식이 있는데, 그 중에서는 특정 구조 위에서는 항상 성립하는 universal한 특성을 가지고 있는 것들이 있어요. 예를 들어, commutative ring에서는 binomial theorem이 항상 성립하고, characteristic 인 commutative […]