축약 가능 공간(contractible space)과 변형 수축(deformation retract)

대수적 위상수학에서 가장 중요한 개념 중 호모토피homotopy라는 것이 있다. 위상수학의 대수적 불변량은 호모토피 불변량homotopic invariant인 경우가 많다. 예를 들어, 기본군fundamental group이나 (코)호몰로지(co)homology, 오일러 지표Euler characteristic은 homotopy invariant이다. 이러한 불변량을 이용하여 위상공간들의 호모토피 유형homotopy type을 분류할 수 있다. 공간이 충분히 좋다면, 두 공간이 위상동형homeomorphic인지 판별하는 데에도 매우 유용하다.

homotopy를 쉽게 이해할 수 있는 방법에는 변형 수축deformation retract이 있다. 변형 수축은 homotopy equivalence를 함의한다. 더 나아가, 다음 정리가 잘 알려져있다.

XY가 호모토피 동치homotopic equivalent라는 것과, X, Y를 포함하는 다른 공간 Z가 있어서 X, YZ의 deformation retract가 된다는 것은 동치이다.

하지만, A \subseteq X가 서로 호모토피 동치라고 AX의 deformation retract인 것은 아니다. S^1 \subseteq \mathbb{R}^2 \setminus \{(2,0)\}이 반례가 된다.

호모토피류homotopic type 중 간단한 것은 contractible space이다. 이는 어떤 공간이 점과 homotopic하다는 것을 의미한다. 많은 contractible space는 내부의 어떤 점으로의 deformation retract를 가진다. 이러한 경우에도 앞의 명제는 거짓이 될까? 즉, contractible space 중 점으로의 deformation retract가 없는 것이 존재할까?

그러한 공간은 존재한다. 다음 공간을 생각해보자. ([Hat], p. 18)

이 공간은 빗처럼 생긴 공간을 지그재그로 붙인 것인데, 빗에는 무수한 살이 돋아 있다. 다음과 같은 집합으로 간주될 수 있다.

\left(\{0\} \times I \right) \cup \left(I \times \{0\} \right) \cup \left\{(x,y) \, : \, x \in \mathbb{Q} \cap I, 0 \le y \le 1-x \right\}

이 공간은 contractible이다.([MSE]) 직관적으로, 그림처럼 연결된 실을 생각해보자. 이 때 zig-zag 부분을 오른쪽으로 밀면, 빗살 부분의 실들이 끌려 나올 것이다. 이 행위는 공간으로부터 zig-zag로의 homotopy를 정의한다. 즉, 저 공간은 zig-zag 부분과 homotopic하다. 그런데, zig-zag 부분은 \mathbb{R}과 위상동형이고, 따라서 contractible이다. 따라서, 앞의 공간은 contractible이다.

하지만, 이 공간은 점으로의 deformation retract를 갖지 않는다. 이의 증명은 조금 테크니컬하다. 다음 보조정리를 생각하면 앞의 명제가 왜 성립하는지 알 수 있을 것이다.

x \in XX의 deformation retract라면, 모든 open nbd U \ni x에 대해, 더 작은 open nbd U \supseteq V \ni x가 있어서 embedding V \to U가 null-homotopic하다. ([Hat], Problem 5, p.18)

이 결과는 나의 슬로건에 잘 부합한다.

간단한 추상적 명제에 대한 증명을 잘 모르겠다면, 그 명제는 대게 거짓이다.

참고문헌

[Hat] Allen Hatcher. Algebraic Topology. Cambridge.

[MSE] Balarka Sen. How to prove “zigzag comb” is contractible (Hatcher ex. 0.6(b)). Mathematics Stack Exchange.

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