Generalization of Intermediate Value Theorem: 2. Homotopy

이전 글: Generalization of Intermediate Value Theorem: 1. Brouwer Fixed Point Theorem

이 글에서는 사이값 정리의 다른 일반화 하나를 소개할 거예요.

이전 글에서, 사이값 정리를 다음 관점으로 바라볼 수 있다고 했어요.

2차원 공간을 두 조각내는 곡선 l과, 각 조각 위의 점 P, Q에 대해, P, Q를 연결하는 곡선은 l를 가로지른다.

이를 좀 더 깔끔하게 다음처럼 서술할 수 있을 것 같아요.

분리된 두 도형 X, Y를 (두 도형 위에서) 잇는 곡선은 없다. 즉, X, Y 위의 곡선은 X 위에만 놓여 있거나, Y 위에만 놓여있다.

예를 들어, 다음이 성립해요.

Theorem. 실수 a \in \mathbb{R}s<a<t에 대해, st를 연결하는 \mathbb{R} \setminus \{a\} 위의 곡선은 없다. 즉, st를 연결하는 \mathbb{R} 위의 곡선은 a를 지난다.

사실, 이 정리는 사이값 정리와 같은 이야기이고, homotopy를 이용하면 다음처럼 서술 가능해요.

Theorem. embedding f:\mathrm{D}^1 \to \mathbb{R}a \in \mathrm{int}(\mathrm{D}^1)에 대해, f|_{\mathrm{S}^0}: \mathrm{S}^0 \to \mathbb{R} \setminus f(a)는 null-homotopic하지 않다.

쉽게 말하면, 다음이 성립해요.

실수 s<a<t에 대해, 두 점 s, t\mathbb{R} \setminus \{a\} 위에서 연속적으로 움직여 한 점으로 만들 수 없다.

이를 일반화하는 것은 크게 어렵지 않고, 다음을 사이값 정리의 일반화라고 생각할 수 있어요.

Theorem. embedding f:\mathrm{D}^n \to \mathbb{R}^na \in \mathrm{int}(\mathrm{D}^n)에 대해, f|_{\mathrm{S}^{n-1}}: \mathrm{S}^{n-1} \to \mathbb{R}^{n} \setminus f(a)는 null-homotopic하지 않다.

쉽게 말하면, 다음이 성립해요.

\mathbb{R}^n 위의 (위상적) 구 \mathrm{S}^{n-1}와, 이것의 내부점 a에 대해, \mathrm{S}^{n-1}\mathbb{R}^n \setminus \{a\} 위에서 연속적으로 움직여 한 점으로 만들 수 없다.

(사실, 앞 정리와 이 표현 사이에는 거리가 있긴 해요.)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s