Generalization of Intermediate Value Theorem: 1. Brouwer Fixed Point Theorem

미적분학의 중요한 정리 중 하나에 다음이 있어요.

Theorem (사이값 정리). 연속함수 f:[a,b] \to \mathbb{R}과, f(a)f(b)사이의 값 c에 대해, \xi \in ]a,b[가 있어 f(\xi)=c가 성립한다.

사이값 정리의 직접적인 n차원 일반화를 찾는 것은 쉽지 않은데, 이 글에서는 이 정리를 일반화하는 한 가지 방법을 소개하려 해요.

사이값 정리의 간단한 응용으로, 다음 명제가 소개되곤 해요.

Theorem (1차원 브라우어르 고정점 정리). 연속함수 f:[0,1] \to [0,1]은 고정점을 가진다. 즉, x \in [0,1]이 있어서 f(x)=x가 성립한다.

사실, 두 정리는 다음과 같은 관점으로 통합 가능해요.

2차원 공간을 두 조각내는 곡선 l과, 각 조각 위의 점 P, Q에 대해, P, Q를 연결하는 곡선은 l를 가로지른다.

더 나아가, 사이값 정리와 1차원 브라우어르 고정점 정리는 사실 같다는 것을 알 수 있어요. 따라서, 사이값 정리의 일반화는 곧 1차원 브라우어르 고정점 정리를 일반화하는 것과 같다고 볼 수 있어요.

일반적으로, 브라우어르 고정점 정리는 다음을 의미해요.

Theorem (브라우어르 고정점 정리). 연속함수 f:\mathrm{D}^n \to \mathrm{D}^n은 고정점을 갖는다.

이 정리는 다음처럼 묘사되곤 해요. (알려진 문장을 조금 수정했어요.)

가만히 놓인 커피 한 잔을 스푼으로 휘저은 후, 움직임이 멈출 때까지 기다리자. 그러면, 젓기 전과 후를 비교하였을 때 위치 변화가 없는 점이 존재한다.


사실 ‘휘젓기’는 ‘연속함수’보다는 ‘identity와 호모토픽한 함수’에 가까운 개념이에요. 휘젓기에 대해서는 더 많은 도형에 대한 고정점 정리가 성립해요.

Theorem (렙셰츠 고정점 정리). 좋은 도형 X의 Eular characteristic \chi(X)0이 아니라면, 휘젓기 f \simeq \mathrm{id}는 고정점을 가진다.

Corollary. \mathrm{S}^{2n}위의 휘젓기는 고정점을 가진다.

이 따름정리는 다음처럼 묘사되곤 해요.

지구 표면에는 바람이 불지 않는 곳이 있다.

다음 글에서는 호모토피를 이용한 IVT의 다른 일반화를 살펴볼게요.

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