Review: Real Analysis for Graduate Students by Richard Bass

KAIST의 2019 Fall MAS441 Lebesgue Measure Theory 강의에서는 Bass의 “Real Analysis for Graduate Students“를 주교재로 사용하였어요. 책을 전부 커버하지는 않았고, (§8 Riemann integrals 및 몇 주제를 제외하고) §15 L^{p} spaces의 두 번째 소단원 Completeness까지 다루었어요. 이 글에서는 이 책에 관한 생각을 써보려 해요.

먼저, 이 책은 박사 qualifying test를 위한 실해석학 교재로 보면 되지만, 내용은 그리 어렵지 않다고 생각해요. 하지만, 제 생각엔 이 책은 그렇게 친절하지 않고, 많은 중요한 부분에 대한 언급이 없거나, 이것을 연습문제로 내는 경향이 있는 것 같아요. 예를 들어, 이 책엔 linear transformation이 Lebesgue measure를 어떻게 바꾸는지, Radon-Nikodym derivative에 관한 치환적분/chain rule 등 많은 부분을 연습문제로 남기고, 또 연습문제를 풀다 보면 “왜 책에 이 lemma가 없을까??”싶은 것들이 참 많아요. 이정도는 스스로 lemma를 만들고 theorem을 증명해내는 능력을 기르는데 도움이 될 수 있고, 연습문제들에 괜찮은 것들이 꽤 많으니 큰 문제는 아니라고 생각하고, 제가 생각하는 다른 문제 중 하나는 “서술이 자연스럽지 않은 부분들이 있다”는 것이에요.

기억 나는 것을 적어보자면, 먼저 §12 Signed measure라는 단원이 있어요. 책의 서술이 그렇게 부자연스럽지는 않지만, 저라면 다음과 같이 서술했을 것 같아요.

먼저, positive measure에서 성립하는 기초적인 등식들을 signed measure에 적용하려 하면 문제가 생기는 경우가 있는데, 예를 들어 subset의 measure가 더 작을 필요는 없다는 것을 알 수 있어요. 이것을 수정하기 위해 주어진 set의 subset 중 measure가 가장 작은 집합의 존재에 관해 생각할 수 있고, 그 전에 다음을 정의할 수 있을 거예요.

Definition (normal space). Let (X,\mathcal{A}) be a measurable space and \mu be a signed measure on X. If \inf \{\mu(A):A \in \mathcal{A}\}>-\infty, then we call X as normal.

그러면, 다음이 성립한다는 것을 쉽게(?) 알 수 있어요.

Lemma (Hahn decomposition for normal space). Let (X,\mathcal{A},\mu) be a normal signed measure space, and let l=\inf\{\mu(A):A \in \mathcal{A}\}. Then, there is a set N \in \mathcal{A} such that \mu(N)=l. In particular, if we write P:=X \setminus N, then (P,N) is the Hahn decomposition of X.

Hahn decomposition이 존재한다면 그 space가 normal임은 당연하고, 곧 일반적인 Hahn decomposition과 모든 signed measure space가 normal하다는 것은 같은 말이에요(!) 그리고 이것이 성립한다는 것의 증명은 그리 어렵지 않아요!

Lemma (Hahn decomposition). Every signed measure space is normal. In particular, every signed measure space has a Hahn decomposition.

Proof. 다음 claim을 볼게요.

Claim. If X is not normal, then for any a \in \mathbb{R}, there is a normal subspace A \subset X such that \mu(A)<a.

Proof of claim. 이 명제가 거짓이라고 하고, X를 그 반례로 둘게요. 그러면 X는 normal이 아니니깐 A_{0} \subseteq X가 있어서 \mu(A_{0})<a가 되어요. 가정에 의해 A_{0}은 normal이 아니고, 곧 A_{1} \subseteq A_{0}이 있어서 \mu(A_{1})<a-1이 되고, 이것을 반복해서 A_{i}<a-i을 만족하도록 chain A_{0} \supseteq A_{1} \supseteq \cdots를 잡을 수 있어요. 그런데, A=\bigcap_{i=0}^{\infty} A_{i}로 정의하면 \mu(A_{0} \setminus A)=\lim_{i \to \infty} \mu(A_{0} \setminus A_{i})=\infty이라는 것을 알 수 있고, 이것은 모순이에요. 따라서 앞의 명제는 참이 되어요.

다시 lemma의 증명으로 돌아와서, 만일 X가 normal이 아니라면, 모든 i \in \mathbb{N}에 대해 normal subspace A_{i}들을 \mu(A_{i})<-i를 만족하도록 잡을 수 있고, 앞의 lemma에 의해 A_{i}는 Hahn decomposition (P_{i},N_{i})를 갖고, 곧 negative set N_{i} satisfying \mu(N_{i}) \le \mu(A_{i})<-i들을 찾을 수 있어요. 그런데, N=\bigcup_{i \in \mathbb{N}} N_{i}로 정의하면 \mu(N) \le \mu(N_{i})<-i for all i \in \mathbb{N}이 되어 모순이에요. 즉, 모든 signed measure space는 normal이 되어요(!) \square

부자연스럽게 느껴지는 또 다른 한 내용은 §14 Differentiation인데, 책에서는 “locally integrable한 함수의 disk 위애서의 평균은 대충 disk 중심의 값이다 (Theorem 14.3)”를 증명하는데 Hardy-Littlewood maximal function과 weak type estimate를 이용해요. 하지만, 이 정리는 사실 “그냥 계산하면 나오는 것”이에요(!)

Theorem 14.3. Let

\displaystyle f_{r}(x)=\frac{1}{m(B_{r}(x))} \int_{B_{r}(x)} f(y)\, {\rm d}y.

If f is locally integrable, then f_{r}(x) \to f(x) almost everywhere as r \to 0.

Proof. Bass 책을 따라, f를 integrable, \epsilon을 양수, g\int |f-g|\, {\rm d}x<\epsilon를 만족하는 continuous function with compact support로 둘게요. 그러면 f_{r}(x) \to f(x) almost everywhere as r \to 0는 다음과 동치예요.

\displaystyle \int \limsup_{r \to 0} |f(x)-f_{r}(x)|\, {\rm d}x=0

그런데, |f(x)-f_{r}(x)| \le |f(x)-g(x)|+|g(x)-g_{r}(x)|+|f_{r}(x)-g_{r}(x)|g_{r}(x) \to g(x) as r \to 0에서 다음을 얻을 수 있어요.

\displaystyle \int \limsup_{r \to 0} |f(x)-f_{r}(x)|\, {\rm d}x < \epsilon+\int |f_{r}(x)-g_{r}(x)|\, {\rm d}x

그런데, |f_{r}(x)-g_{r}(x)|=\left |\frac{1}{m(B_{r}(x))}\int_{B_{r}(x)} f(y)-g(y)\, {\rm d}y \right| \le \frac{1}{m(B_{r}(0))} \int_{B_{r}(x)} |f(y)-g(y)| \, {\rm d}y가 성립하고,

\begin{aligned} \int |f_{r}(x)-g_{r}(x)| \, {\rm d}x &\le \int \frac{1}{m(B_{r}(0)} \int_{B_{r}(x)} |f(y)-g(y)| \, {\rm d}y \, {\rm d}x \\ &=\int \int \frac{1}{m(B_{r}(0))} \chi_{B_{r}(x)}(y) |f(y)-g(y)| \, {\rm d}y \, {\rm d}x \\ &=\int \frac{1}{m(B_{r}(0))} |f(y)-g(y)| \int \chi_{B_{r}(y)}(x) \, {\rm d}x \, {\rm d}y \\ &\le \int |f(y)-g(y)| \, {\rm d}y<\epsilon \end{aligned}

를 얻을 수 있어요. (여기서 \chi_{B_{r}(y)}(x)=\chi_{B_{r}(x)}(y)라는 재미있는(!) 등식이 쓰였어요) 이제 \int \limsup_{r \to 0} |f(x)-f_{r}(x)| \, {\rm d}x<2\epsilon이 되고, \epsilon은 아무 양수니깐 \int \limsup_{r \to 0} |f(x)-f_{r}(x)| \, {\rm d}x=0이 되고 곧 증명이 끝나요. \square

Exercise 1. Let f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} be a bounded measurable function and the limit M_{a}(f):=\lim_{R \to \infty} \frac{1}{m(B_{R}(a))} \int_{B_{R}(a)} f(x) \, {\rm d}x exists.

(1) Does M_{a}(f) depends on a \in \mathbb{R}^{n}?

(2) Prove that M_{a}(f)=M_{a}\left(x \mapsto \frac{1}{m(B_{r}(x))} \int_{B_{r}(x)} f(y) \, {\rm d}y \right) for all r>0. (거칠게 말하면, “(고르게 뽑는 경우) 평균의 평균은 평균이다”로 쓸 수 있을 것 같아요.)

(3) Prove Liouville’s theorem: every bounded entire function is a constant function.

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