Dependency of Riemann Hypothesis

괴델의 불완전성 정리는 (몇몇 조건을 만족하는) 공리계 위의 참인 명제가 증명도, 반증도 불가능하다는 것을 의미해요. 예를 들어, 굿스타인의 정리ZFC(선택공리가 추가된 체르멜로-프렝켈 집합론, 수학에서 가장 널리 쓰이는 공리계 중 하나) 위에서 참이지만 PA(페아노 공리계)와는 독립이고, axiom of choicecontinuum hypothesis는 ZF와 독립이라는 것이 잘 알려져 있어요. 이것은 어쩌면 수학자들이 증명하고 싶어하는 명제가 사실은 증명도, 반증도 되지 않을 수 있다는 것을 말해주어요(!)

수학에서 가장 유명한, 그리고 중요한 난제 중 하나에 ‘Riemann hypothesis(리만 가설)’이라는 것이 있어요. 많은 수학자들이 이 가설을 증명하기 위해 많은 이론을 발전시켰지만, 아직 증명에 다다르기엔 멀었다고 생각하는 수학자가 많아요. 그렇다면, 다음과 같은 걱정을 하는 것은 자연스럽다고 생각해요.

“리만 가설이 ZFC와 독립인 것은 아닐까?”

다행히도, 리만 가설은 ZFC와 독립인 것은 아니에요! 이 글에서는 그 이유를 짧게 설명할 것이에요.

0. Lagarias’s Elementary Reformulation of Riemann Hypothesis

먼저, 다음 정리를 볼게요.

Theorem (Lagarias). Riemann hypothesis is equivalent to the next inequality: for all natural numbers n, inqeuality \sigma(n) \le H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n}) holds.

여기서 \sigma는 약수들의 합을 내놓는 함수이고, H_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}은 Harmonic series. 물론, \log는 자연로그예요.

그 어렵다던 리만 가설이 이렇게나 간단해보이는 명제와 동치라는 것도 놀랍지만, 이것을 이용해서 리만가설이 증명, 혹은 반증 가능하다는 것을 보일 수 있다는 것 역시 놀랍다고 생각해요! 이제 그 이유를 설명할게요.

먼저, 리만가설이 증명도, 반증도 불가능하다고 가정할게요. 그런데, 만일 리만 가설이 거짓이라면 어떤 자연수 n이 있어서 \sigma(n) > H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n})이 성립해야 해요. 그런데, 모든 자연수는 계산 가능하고, 위의 부등식 역시 각 자연수에 대해 계산 가능해요. (왜냐하면 좌변의 약수를 합하는 연산은 유한한 연산이고, 우변은 해당 값을 아래로부터 근사하는 계산 가능한 수열을 잡아줄 수 있기 때문이에요.) 즉, 리만 가설이 거짓이라면 반증할 수 있는 방법이 존재하게 되고, 이것은 앞의 가정에 모순이에요. 즉, 리만 가설은 참일 수 밖에 없는데, 그러면 앞의 논의가 리만 가설의 증명이 되어 다시 모순이에요. 따라서, 리만 가설은 증명, 혹은 반증 가능해요!

이 증명에서의 핵심은 바로 ‘계산 가능성’인데, 만일 계산 가능성이 없다면 위와 비슷한 결론을 얻을 수 없어요. 예를 들어, 함수 f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}을 continuum hypothesis가 참이면 항상 0을 내놓고, 아니라면 항상 1을 내놓는 함수라고 정의하면, f(x) \le 0인지의 여부는 (continuum hypothesis와 동치이고, 따라서) ZF와 독립이 되어요.

[December 18, 2019 추가] 트위터의 Hanul Jeon(@hanuljeon95)이라는 분께서 다음과 같은 멘션을 달아주셨으니 참고하면 좋을 것 같아요. (사실 저는 수리논리를 공부해보지 않아서 그런지 문제점을 잘 모르겠어요(?))

References

[1] Jeffrey C. Lagarias. An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis. 2001.

One thought on “Dependency of Riemann Hypothesis

  1. 오… 여태까지 RH의 equivalent로 big O로 표현된 것들만 봐서, 실질적 계산을 할 수 있는 형태가 있는 줄은 처음 알았습니다. ㅎㅎㅎ 많이 배웁니다. 감사합니다.

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