대수적 위상수학에서 가장 중요한 개념 중 호모토피homotopy라는 것이 있다. 위상수학의 대수적 불변량은 호모토피 불변량homotopic invariant인 경우가 많다. 예를 들어, 기본군fundamental group이나 (코)호몰로지(co)homology, 오일러 지표Euler characteristic은 homotopy invariant이다. 이러한 불변량을 이용하여 위상공간들의 호모토피 유형homotopy type을 분류할 수 있다. 공간이 충분히 좋다면, 두 공간이 위상동형homeomorphic인지 판별하는 데에도 매우 유용하다. homotopy를 쉽게 이해할 수 있는 방법에는 변형 수축deformation […]
이해는 매우 복합적인 행위이다. 어떤 대상을 잘 이해한다는 것은, 상황에 따라 그 대상이 어떻게 작동할지 잘 예상한다는 것이다. 이를 위해서는 대상과 다른 대상 사이의 무수한 논리적 · 직관적 관계들을 습득해야 하며, 이는 절대로 쉽지 않다. 어떤 정리를 이해한다는 것과 그것을 증명할 수 있다는 것은 별개의 행위이다. 정리의 증명을 안다고 해도, 정리를 다른 문제에 적용하지 못할 […]
이전 글: Generalization of Intermediate Value Theorem: 1. Brouwer Fixed Point Theorem 이 글에서는 사이값 정리의 다른 일반화 하나를 소개할 거예요. 이전 글에서, 사이값 정리를 다음 관점으로 바라볼 수 있다고 했어요. 2차원 공간을 두 조각내는 곡선 과, 각 조각 위의 점 에 대해, 를 연결하는 곡선은 를 가로지른다. 이를 좀 더 깔끔하게 다음처럼 서술할 수 […]
미적분학의 중요한 정리 중 하나에 다음이 있어요. Theorem (사이값 정리). 연속함수 과, 와 사이의 값 에 대해, 가 있어 가 성립한다. 사이값 정리의 직접적인 차원 일반화를 찾는 것은 쉽지 않은데, 이 글에서는 이 정리를 일반화하는 한 가지 방법을 소개하려 해요. 사이값 정리의 간단한 응용으로, 다음 명제가 소개되곤 해요. Theorem (1차원 브라우어르 고정점 정리). 연속함수 은 […]
이 글은 다음 내용을 다루어요. 빨대의 구멍 개수에 대한 개인적인 생각 위상수학 (평범하게 생긴) 빨대의 구멍 개수는 인터넷 상에서 많은 이야기가 오갔던 주제이고, 이 글에서는 이에 대한 제 생각을 다룰 거예요. 이 글은 수학적으로 엄밀하지도, 그렇다고 비수학적이지도 않은 거친(rough) 글이에요. 만일, 글이 이해되지 않는다면, 마지막 부분 요약을 보시는 것이 도움이 될 수 있을 것 같아요. […]
이 글에서는 다음 내용들을 다루어요. Category of well-ordered sets Statement that “If forms a/an [some condition] by inclusion and for some cardinal number , then holds.” [some condition]의 예시로는 directed set, well-ordered set, 그리고 totally ordered set이 있어요. 1. Category of Well-Ordered Sets Category of well-ordered sets를 정의하기 전, 몇 가지 용어를 알아볼게요. Definition (lower […]
KAIST의 2019 Fall MAS441 Lebesgue Measure Theory 강의에서는 Bass의 “Real Analysis for Graduate Students“를 주교재로 사용하였어요. 책을 전부 커버하지는 않았고, (§8 Riemann integrals 및 몇 주제를 제외하고) §15 spaces의 두 번째 소단원 Completeness까지 다루었어요. 이 글에서는 이 책에 관한 생각을 써보려 해요. 먼저, 이 책은 박사 qualifying test를 위한 실해석학 교재로 보면 되지만, 내용은 그리 […]
괴델의 불완전성 정리는 (몇몇 조건을 만족하는) 공리계 위의 참인 명제가 증명도, 반증도 불가능하다는 것을 의미해요. 예를 들어, 굿스타인의 정리는 ZFC(선택공리가 추가된 체르멜로-프렝켈 집합론, 수학에서 가장 널리 쓰이는 공리계 중 하나) 위에서 참이지만 PA(페아노 공리계)와는 독립이고, axiom of choice와 continuum hypothesis는 ZF와 독립이라는 것이 잘 알려져 있어요. 이것은 어쩌면 수학자들이 증명하고 싶어하는 명제가 사실은 증명도, 반증도 […]
자, 이번에는 해석학에 관한 글을 써보려 해요!! 목표는 에 관한 항등식을 증명하고, 이걸 이용해서 문제를 푸는 것이에요.(는 사실 더 일반적인 형태가 있는데, 이건 연습문제로 남길 거예요(??)) 그 전에, 다음의 놀라운 항등식을 살펴볼게요. Identity. 자연수 에 대해 다음 등식이 성립한다. Proof. 에 대한 귀납법으로 증명할게요!: 를 보이면 되는데, 전개하면 당연해요.: 다음을 볼게요. 따라서, 의 양변에 위의 […]
0. 이 글에서는 일반적인 ring 위의 identity를 위의 identity로 restriction시킨 후 간단히 보이는 테크닉을 소개할 거예요! 아직은 제 실력이 부족해서 Cayley-Hamilton theorem을 보이는 수준으로만 소개할 것이지만요. 1. 수학에는 많은 항등식이 있는데, 그 중에서는 특정 구조 위에서는 항상 성립하는 universal한 특성을 가지고 있는 것들이 있어요. 예를 들어, commutative ring에서는 binomial theorem이 항상 성립하고, characteristic 인 commutative […]
